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小学数学其他版本
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  • ID:3-4818464 五年级冀教版数学小学数学问答手册

    小学数学/其他版本/五年级上册

    八.比和比例 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6084_SR.HTM" \t "_blank?) 239.“比”和“比值”这两个概念有什么联系和区别?   在除法中,两个数相除时,就叫做两个数的比。一般分为两种情况:   (1)比较同类量的倍数关系,表示其中一个数是另一个数的几倍或几分之几。   例如:红光小学有女教师40人,男教师12人。表示女教师与男教师人数的比是40∶12(或化简为10∶3),这也表示女教师人数是男教师人数   (2)两个不同类量相比,是表示一个新的量。   例如:总 价∶数量,表示单价。   路 程∶时间,表示速度。   总产量∶亩数,表示亩产量。   “比”是由前项∶后项组成的,而“比值”是前项除以后项所得的商。如:     由此可以看出:“比”和“比值”这两个概念是有区别的。但两者之间也是有联系的,因为没有前面的“比”,就不会有后面的“比值”。就一般而言,“比”和“比值”都是一个完整比的组成部分。   除此之外,还要看到“比”和“比值”也有着一致性。从广义上解释,两个数的比是两个数的商,这个商也是比值。如:       由于比中的比号相当于分数中的分数线,所以用比的形式表示,就是7∶ 240.比、除法、分数这三者之间,有什么联系和区别?   在小学数学教材中,从除法到分数,又到比,这不仅是一个发展过程,三者之间也存在着内在的必然联系。在比的教与学中,揭示它们之间的联系,是极其必要的。   比的前项相当于除法中的被除数,分数中的他子;后项相当于除法中的除数,分数中的分母;比号柑当于除法中的除号,分数中的分数线;比值相当于除法中的商,分数的分数值。   例如:        在比中,前项÷后项=比值 a∶b=c   在除法中,被除数÷除数=商 a÷b=c      如上所述,比、除法、分数三者之间有着如此密切的联系,目的在于:有关比的运算,可以转化为除法运算或分数形式,而又需要重新建立比的运算法则。   它们之间的区别,从意义上区分有:   “比”是表示两个数的倍数;   “除法”表示的是一种运算;   “分数”则是一个数。 241.“求比值”和“化简比”有区别吗?   在比和比例中,求比值是常用的,但也需要把较复杂的整数比(不包括含有分数、小数的比),化成简单的整数比,这两者是有区别的。   在区别求比值和化简比时,有一种并不全面的说法,即:求比值时用除法(比的前项除以后项);而化简比时,运用的是比的基本性质(比的前项和后项同时乘以或除以一个不等于0的数,比值不变)。这只是看到了问题的一个方面,实际上,求比值也可以运用比的基本性质,而化简比也可以用除法。          =3∶60(前项和后项同乘以10)     =1∶20(前项和后项同除以3)                          由此看来,用什么方法并不是两者的主要区别。应该看到的是下述情况:   比有三种表示形式,一是比的一般形式,如5∶6;一是比的分数形式,      既可以认为是比,读作:5比6;也可以认为是比值,读作:六分之五。在     就是说,对两者在这样的情况下,不需要严格区别。   在小学数学教材中,作为不同的练习形式,又有着求值与化简比的不同要求。为了使学生明确这不同的要求,就必须加以约定,如果是求比值,就把结果写成数的形式(整数、小数或分数);如果是化简比,就把结果写成比的一般形式,以表示这两者练习形式上的区别,至于用什么方法,则不一定强求一致。 242.绘图时如何选择比例尺?   比例尺是图上距离和实际距离的比。在绘制地图、操场或教室的平面图以及零件图时,要把实物的长度(或实际距离)缩小若干倍后,再画到纸上,这就用到比例尺。涉及到比例尺的问题,通常有三种情况:   (1)求比例尺。 图上距离∶实际距离=比例尺   (2)求实际距离。 图上距离÷比例尺=实际距离   (3)求图上距离。 实际距离×比例尺=图上距离   这三类情况,除(1)是求比例尺外,(2)(3)本身都有指定比例尺,因此,计算起来并不困难。但是,在绘图时,比例尺一般是不知道的,这就要视图纸大小这个具体情况,自己确定适当的比例尺。这是因为:如果比例尺选择的太大,图纸就可能不够画;如果比例尺选择的太小,画出的图只占图纸的很小部分,则图纸没有得到充分利用。这样画出的图,即不美观、大方,也不匀称、清楚。所以,在绘图时,选择“适当”的比例尺,则是重要的前提条件。   例如:要把一块长50米,宽30米的长方形土地,画在一张长28厘米,宽30厘米的纸上,应该选择怎样的比例尺?   光从长考虑,比例尺可以是:   28∶5000≈1∶179   再从宽考虑,比例尺可以是:   30∶3000=1∶100   根据一张图纸上只能选用统一的比例尺,对比一下,只能“选小不选大”,因为一旦选大了,图纸则画不下,所以,应选用1∶179的比例尺考虑到在一般情况下,为了画图的准确和方便,实际画图时,实际距离(长、宽、高等)扩大或缩小的倍数,常常是整十、整百、整千、整万……的倍数;同时还要考虑到图案画上后还要留边、画框以及写图的名称和标明比例尺等事项。因此,这张图选用1∶200的比例尺比较合适。按这个标准的比例尺,在纸上画出的图长为25厘米,宽为15厘米,同时也留有余地地满足了有关画图的其他要求。   总之,在用比例尺绘图前,首先要了解所画的地形(或实物)在长和宽这两个方向的实际距离是“多长”(以后画立体图时,还要考虑到“高”);然后再量出图纸在长和宽这两个方向上的尺寸有“多大”。这样,才能根据实际距离的大小和图纸的尺寸,确定选用适当的比例尺。 243.“比”和“连比”一样吗?   比和连比是两个不同的概念。从意义上看比是表示两个数的倍数关系(或两个数相除)。连比是两个以上数之间的各自所占的份数比,它不是以上两个数连除的关系。   比和连比中的“项”也是不同的:   从比值上看:比既然表示两个数的倍数关系,当然可以求出比值来,如:    值。   如果把两个比组成连比,必须使第一个比的后项等于第二个比的前项。例如:甲和乙的比是3∶4,乙和丙的比是6∶5,假如把甲、乙、丙的连比写成3∶4∶5则是错误的,写成3∶6∶5也是错误的。因为乙对甲来比是4,对丙来比又是6,这是两个不同标准的比,现在进行连比,乙必须有一个对甲、对丙都一致的数。也就是说,把两个比组成连比,“中项”必须统一。中项统一后,由于中项数字的变化,前项与后项的数字,也要发生相应的变化。   甲和乙的比是3∶4,乙和丙的比是6∶5,甲、乙、丙的连比应该是9∶12∶10。其中项统一过程如下:   连比的项不限于三项,也可能是若干项。连比的一般形式为a1∶a2∶a3∶…∶an,当连比的项较多时,各项的名称以此为例,a1叫做连比的第一项(也叫首项),a2叫连比的第二项,a3叫连比的第三项,…an叫做连比的第n项(也叫末项)。 244.球赛记分牌上的“2∶0”、“6∶2”等,有没有比的含义?   在激烈的足球比赛中,为了表示比赛双方的进球数,记分牌上经常显示“2∶0”或“6∶2”等比分,这些比分都没有数学中“比”的含义。   记分牌上的“2∶0”,表示一方踢进对方大门2个球,另一方没有踢进。在篮球比赛中,“2”表示一方得了2分,“0”表示一方没有得分。固然“2∶0”表示比赛的双方相差2分;“6∶2”表示相差4分,但这些比分只表示比赛双方各自的得分和相差的分数,而不表示“比”的含义中的倍数关系。   说明球类比赛中“2∶0”不具有“比”的含义,并不因为这个“2∶0”的后项是0,从而根据比的后项不能是0的规定得出的结论。这是因为球类比赛中的比分,所谓的后项不一定都是0。如果按上述结论去说明,当所谓的后项不是0时,岂不又具有“比”的含义吗?   例如:球场上的比分为“6∶2”,说明比赛双方相差4分,如果把“6∶2”看作数学中的“比”,“比”是可以化简的,6∶2=3∶1,其结果表明:比赛双方相差2分,这与球场的实际情况是完全不符合的。   因此,球赛时记分牌上所表示的比分,只是为了直观,借用了比的符号,而没有数学中的任何比的含义。 245.正比例的性质和反比例的性质有什么区别?   正比例的性质和反比例的性质,是相反的两个性质,在学习和运用时,由于表述形式近似,只是个别关键词语的不同,极容易相互混淆,必须正确地加以区分。   正比例的性质是:两种相关联的量,其中一种量的任意两个数值的比,等于另一种量对应的两个数值的比。   例如:一列火车的速度每小时60千米,如果所行时间与所行路程成正比例关系,那么所行时间的任意两个数值的比,必须与对应所行路程的两个数值的比相等。   如下表:   从顺向看:时间上2小时与4小时的比为2∶4=0.5;路程上2小时所行的千米数与4小时所行的千米数的比120∶240=0.5。这两个比的比值相等,具备了正比例的性质。     具备了正比例的性质。   反比例的性质是:两种相关联的量,其中一种量的任意两个数值的比等于另一种量对应的两个数值比的反比。   例如:完成1200台电视机的生产任务,每天生产的台数和完成的天数成反比例关系,每天产量中任意两个数值的比,等于所对应完成天数的两个数值比的反比。   如下表:         从逆向看:台数上400台与200台的比为400∶200=2;其对应天数比的反比为6∶3=2。两个比的比值相等,具备了反比例的性质。 246.反比、反比例和反比例关系有什么区别?   在比和比例这部分知识中,反比、反比例和反比例关系也是容易混淆的。不正确区分三者的确切含义,就会在凭借概念进行判断和依据性质进行计算上,产生“后遗症”,最后还得溯本求源,从基本概念上进行澄清。因此,从防微杜渐的角度上,一开始就结合教材进行正确区分,是非常必要的。   “反比”是与正比相对而言的,它们都不属于比例的范畴。在两个比中,如果一个比的前项和后项,分别是另一个比的后项和前项,这两个比就叫做互为反比。   例如:3∶4的反比是4∶3;反过来,4∶3的反比是3∶4。   “反比例”是对两种相关联的量对应数值组成比的顺序而言的。两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,据此写出的比例式称为反比例。   例如:有一堆煤,每天烧煤2吨,可烧12天,如果每天烧煤4吨,可以烧6天,每天烧6吨,可以烧4天。从条件中的规律可见,煤的总重量一定,每天烧煤量与烧得天数成反比例。   “反比例关系”是成反比例的两种量之间的数量关系。如果用字母x、y表示两种相关联的量,用k表示积(一定),其关系式为:x×y=k(一定),在这个式子中,x与y的关系,就是反比例关系。 247.什么叫做按比例分配的应用题?   在对物品或任务进行分配时,有时按照平均分配的方法,这种分配的方法也叫“匀分”。另一种分配方法不是平均分配,而是根据需要或其他情况,确定分配对象的不同份额,先找出总份额数(也就是总份数),再求出每份额(每份数)的具体数量,然后根据不同份额求出各自分配到的具体数量。这种分配方法叫按比例分配,用按比例分配的方法去解答的应用题,叫做按比例分配的应用题。   例如:光华小学在植树日,需完成植树168棵的任务,按3∶4∶5的比例,分配给四、五、六年级,求每个年级应植树多少棵?   此题按一般应用题解法,属于归一问题。   解题的过程为:   (1)三个年级共多少份?3+4+5=12(份)   (2)平均每份是多少棵?168÷12=14(棵)   (3)四年级应植多少棵?14×3=42(棵)   (4)五年级应植多少棵?14×4=56(棵)   (5)六年级应植多少棵?14×5=70(棵)   答:(略)   此题用按比例分配方法解,同样要先求出总份数,但不求每份是多少棵,因为分配给三个年级的份额各占总份数的几分之几,也就是三个年级植的棵数各占总棵数(168棵)的几分之几,所以可直接求出三个年级各自应植的棵数。   解题过程为:   (1)总份数:3+4+5=12      答:(略) 248.正方形的边长和面积为什么不成比例?   在判断比例的练习中,学生常把正方形的边长与面积误判成正比例。造成这种误判,在于对正比例关系缺乏全面理解。对“两种相关的量,一种量变化,另一种量也随着变化”,这句话是记住了,认为边长扩大,正方形的面积也会扩大,但这只是正比例关系含义的一半。另一句话,却被忽略了,即:“如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定”。   对其忽略的部分,可通过列出边长与面积的对应数值表,来进行准确的判断。   从表中的边长和面积的数值来看,正方形的边长和面积相对应的两个数的比值并不相等。   由上边所举数例可以说明:正方形边长的任意两个数值的比与相对应的面积的比,其比值都是不相等的,因此,正方形的边长与面积不能成正比例。   除根据正比例的关系来说明正方形的边长和面积不成比例外,还可以根据比例的判定式,来证明正方形的边长和面积是不成比例的。求正方形面积的公式是:   无论是成正比例或反比例,其中必有一个量是一定的(或称不变量)。由于正方形的特征之一是:正方形的四条边的长度都相等,在上述公式中,找不出一定的量,如果一个边长扩大了,其他边长也必然相应扩大,否则它就不是正方形了。所以,正方形的边长和面积是不成比例的。   同时,还应该看到:正方形的边长和面积固然不成比例,但正方形的边长平方和面积是成正比例的。因为边长平方和相对应面积的两个数的比值是相等的。   仍以上表中的数值为例:    249.在正、反比例的应用题中,怎样确定“一定”的量?   在成比例的两种相关联的量中,无论是成正比例,还是成反比例,都是这两种量之间的关系。但在形成比例的因素中,事实上还存在着与这两种量密切相关的另一种量,这个量是“一定”的,也就是不变的量。没有这个“一定”的量,只有前面的两种相关联的量,正、反比例的关系都是不能成立的。例如:   (1)火车的速度一定,所行的时间和路程成正比例;   (2)玉米的亩产量一定,种植玉米的亩数和总产量成正比例;   (3)生产机器的总台数一定,生产时间和效率成反比例;   (4)全班学生人数一定,分的小组数和每组人数成反比例。   上述一些成正、反比例关系的实际问题中,这个“一定”的量比较明显,因此,容易确定;但在另一些成正、反比例的实际问题中,这个“一定”的量比较隐蔽,所以难以确定。揭示出“一定”的量,就成为判断两种量是成正比例还是成反比例的前提条件。例如:   (1)正方形的边长和周长成正比例;   (2)圆柱体的底面积和高成反比例;   (3)圆的直径和周长成正比例;   (4)齿轮转动,主动轮、从动轮的齿数和转速成反比例。   判断上述比例,在于揭示出比较隐蔽的“一定”的量。根据正、反比例   种量则成正比例关系;如果x×y=k(一定),这两种量则成反比例关系。    系的关系式。在这个关系式中,“一定’的量就是k。因此,要揭示隐蔽的“一定”的量,就必须熟练地掌握上面的关系式,从关系式中来确定“一定”的量。   前面例举的四道题,其“一定”的量可如下进行确定:   (1)∵正方形周长/正方形边长=正方形边数   正方形边数是4,这是一定的;   ∴正方形边数就是此题中的“一定”的量。   (2)∵圆柱底面积×高=圆柱体体积,圆柱体体积是已知的;   ∴圆柱体体积是此题中“一定”的量。   (3)∵圆的周长/圆的直径=圆周率   圆周率π是一个常数;   ∴圆周率是此题中“一定”的量。   (4)∵齿轮齿数×齿轮转数=转过总齿数,主动轮、从动轮转过的总   齿数是一样的;   ∴转过总齿数是此题中“一定”的量。   上面确定“一定”的量的关系式中,有除法关系式,也有乘法关系式,从“积”或“商”的不变中,可以找出比较隐蔽的“一定”的量。除此之外,还可以从熟悉的基本数量关系中,直接用乘法关系式来寻找。   即: 因数×因数=积   在这个乘法关系式中,当其中的一个因数一定时,另一个因数与积存在着正比例关系;而当积一定时,两个因数之间存在着反比例关系。以常见的速度×时间=路程为例:   这样的乘法关系式还有很多,如:长×宽=长方形面积、底×高=平行四边形面积、底面积×高=长方体体积(或圆柱体体积)、单价×数量=总价等,利用这些关系式,可以一式三用地确定出“一定”的量,从而对正、反比例的应用题做出正确的判断。 250.比例应用题有哪些解题思路?   在学习比例应用题以前,已经掌握了整数、小数、分数的应用题,以及用方程解的应用题,因此,解比例应用题时,其解题思路就不限于比例本身。通常有以下几个思路:   (1)按照正、反比例的关系去思考,用比例的方法;   (2)按照数量的对应关系(包括量率对应关系)去思考,用算术的方法;   (3)按等量关系去思考,用方程的方法。   这三种思路在下面例题中可以看到它们的具体运用:   如:一辆汽车2小时行驶64千米,用同样的速度,从甲地到乙地共行驶5小时,甲乙两地之间的路程是多少千米?   用比例的方法解:从条件中可知,速度为“一定”的量。   设:甲乙两地之间的路程是x千米。   答:甲乙两地之间的路程是160千米。   用以前学习过的算术方法解:汽车5小时行多少千米,要先求出汽车1小时行多少千米,属于归一问题的思路或倍比问题的思路。   归一解:64÷2×5=160(千米)   倍比解:64×(5÷2)=160(千米)   答:甲乙两地之间的路程是160千米。   用方程的思路解:由于汽车的速度前后没变,其等量关系式是:5小时行的千米数÷5=2小时行的千米数÷2   实际上是速度=速度。   设甲乙两地之间的路程是x千米。   x÷5=64÷2   x=64÷2×5   x=160   答:甲乙两地之间的路程是160千米。   上述三种思路只是从比例、算术、方程的角度上划分的,事实上在算术的范围内有时还会出现多种解法,而每一种解法都是一种思路。因此,在掌握用比例解法解比例应用题的同时,也鼓励学生在可能的情况下进行“一题多解”,这既是对解题思路的开拓,也是对已学过知识的自觉复习。 251.什么叫做复比例?   在两个或若干个比例的各对应项上,实行四则运算,所得到的比例叫做复比例。复比例通常有以下三种情况:   (1)比例的加法和减法:由两个或若干个具有相等比值的比例,其对应项相加或相减所成的复比例,也具有原来相等的比值。   例如:40∶10=24∶6(比值为4)    12∶3=8∶2(比值为4)   经过加减得到的复比例是:   (40±12)∶(10±3)=(24±8)∶(6±2)   按加法得:52∶13=32∶8   按减法得:28∶7=16∶4   (2)比例的乘法:从两个或若干个比例各对应项相乘所得到的复比例,它的比值等于已知各比例比值的积。   通过乘法得到的复比例是:   (3×4)∶(2×2)=(6×2)∶(4×1)   12∶4=12∶4(比值为3)      由此可知,已知比例的各项自乘所得到的复比例,它得的比值等于已知比值自乘以同次方。    比例各项自乘3次得到复比例为:   (3)比例的除法:一个比例的各项除以另一个比例的各对应项所得的复比例,它的比值等于两个已知比例的比值的商。      通过除法得到的复比例为:   (3÷4)∶(2÷2)=(6÷2)∶(4÷1)       252.什么是复比例应用题?   计算两个以上的量成比例的应用题,叫做复比例应用题。   例如:6个水管10小时注满10米长、3米宽、1.5米深的水池,用同样的水管8个,要注满9米长、4米宽、2.5米深的水池,需要多少小时?   设需要x小时。列出已知条件,使同类量上下对齐:   此题中共有五个量,在列出的条件里,“↓”表示所求量与已知量成正比例;“↑”表示所求量与已知量成反比例。   在固定其他量“一定’的前提下,判断未知量与每一个量成正比例还是反比例。成正比例的,向下画一个箭头;成反比例的,向上画一个箭头。最后把箭头所指的数及与未知数同一列的数的积作分子,箭尾指着的数的积作分母,所得的分数值,就是题目中所求。        答:需要15小时。   复比例应用题也可以用整数或小数中的“归一”方法解,仍以上题为例:   (1)每个水管1小时注水多少立方米?   10×3×1.5÷10÷6=0.75(立方米)   (2)要注满水的水池容积是多少立方米?   9×4×2.5=90(立方米)   (3)8个水管1小时注水多少立方米?   0.75×8=6(立方米)   (4)需要多少小时?   90÷6=15(小时) 253.什么是混合比例应用题?   把价值不同、数量不等的同类物品相混合,已知各物品的单价及混合后的平均价格(或总价和总数量),求混合量的应用题,叫做混合比例应用题。   混合比例应用题在小学数学教材中虽然没有涉及,但在实际生活中,这类问题又是常见的。例如:   两种糖果,每千克的价格,甲种4.8元,乙种4.2元,混合后每千克价格为4.6元,已知混合时,甲种糖果比乙种多用2.5千克,求两种糖果各用多少千克?   解:设甲种糖果用x千克,乙种糖果用了(x-2.5)千克。   (4.8-4.6)∶(4.6-4.2)=(x-2.5)∶x   0.2∶0.4=(x-2.5)∶x   0.2x=0.4x-1   0.2x=1   x=5(千克)甲种   5-2.5=2.5(千克)乙种   验算:甲种糖果5千克价:4.8×5=24(元)   乙种糖果2.5千克价:4.2×2.5=10.5(元)   两种糖果共价:24+10.5=34.5(元)   两种糖果共重:5+2.5=7.5(千克)   混合后每千克价:34.5÷7.5=4.6(元)   又如:买来甲乙两种铅笔若干支作为奖品,甲种每支0.6元,乙种每支0.4元,平均每支0.525元,已知甲种铅笔比乙种多20支,求两种铅笔各多少支?   解:设甲种铅笔x支,乙种铅笔(x-20)支。   答:甲种铅笔50支;乙种铅笔30支。 二、小数 101.小数是怎样定义的?   把分母是10、100、1000、……的十进分数.改写成不带分母形式的数,叫做小数。   。象0.1、0.07、2.23、30.079 都是小数。小数中间的圆点“.”叫做小数点。小数点的左边的部分叫做整数部分,小数点的右边部分叫做小数部分。如2.23,“2”是整数部分,“23”是小数部分;30.079,“30”是整数部分,“079”是小数部分。整数部分是零的小数叫做纯小数。纯小数比1小,如0.1、0.07是纯小数;整数部分不为零的小数叫做带小数。带小数比1大,如2.23、30.079是带小数。   根据小数的定义可知,认识小数应在认识分数之后,但是,目前小学数学教材里一般把小数的认识分为两个阶段:第一阶段通过认识货币、商品标价,让学生有个初步的认识,不包括十进分数的意义。第二阶段由十进复名数借助直观教具进行抽象概括,使学生认识小数的本质是十进分数。 102.怎样理解小数数位和小数计数单位?   在一个小数中,小数部分的各数位,叫做小数数位。小数数位有十分位、百分位、千分位、万分位……。小数部分从小数点算起, 右边第一位叫做十分位,也可以叫做小数第一位。如6.83的“8”就在十分位上。小数点右边第二位叫做百分位,也可以叫做小数第二位。如6.83中的“3”就在百分位上。小数点右边第三位叫做千分位,也可以叫做小数第三位。如4.095中的“5”就在千分位上。   小数的计数单位是:在一个小数部分中,十分位上的数字,它的计数单位是十分之一;百分位上的数字,它的计数单位是百分之一;千分位上的数字,它的计数单位是千分之一;……   下面列出整数和小数数位顺序表:   这个数位顺序表,是读、写小数的依据,是小数四则计算法则的依据,应该使学生熟练掌握。 103.怎样读小数和写小数?   小数的读法有两种:   (1)直读法:先读出整数部分(按照整数的读法),再读小数点(读作“点”),最后读出小数部分(按照从左到右的顺序读出各位的数字)。   例如:436.25,读作四百三十六点二五;0.875,读作零点八七五;0.009,读作零点零零九。   用直读法时,应当注意:小数部分的读法是从左到右的顺序读出各位数字,而不读出数位的名称。此外,遇到小数部分连续有几个零和末尾的零都要一一读出来,不能漏读。例如:0.006读作零点零零六,0.40读作零点四零。   (2)按照分数的读法来读:   法有助于理解小数的意义。但是考虑到这时小学生对于分数还只有初步的认识,这种读法难度较大,所以应不作要求。可以通过小数与分数的相互改写使学生进一步理解。   写小数时,整数部分按照整数部分的写法来写(整数部分是零的就写“0”),小数点要写在整数部分的个位的右下角,小数部分顺序写出每一位上的数字。小数点不可写得“居中”,免得与乘号“·”相混。要特别细心,不得把小数点的位置点错,假如点错了位置,那就要相差10倍、100倍、1000倍、……。   例如:七点八五,写作7.85;零点六八,写作0.68;四十点零零二,写作40.002;三百点零五,写作300.05。 104.“几位小数”的称呼是怎样规定的?   一个数的小数部分在几个数位上有数字,就叫作几位小数。不管它的整数部分有多少位。如:8.025、0.004都是三位小数,71.6、0.2都是一位小数。   小数的“位数”的概念,在学习小数四则计算和取小数的近似值时经常要用到。教学时,要让学生把数位、数位上的数和位数区分开来,随时纠正学生口头叙述时出现的错误,要注意区分“一位数”与“一位小数”,“两位数”与“两位小数”,使学生理解“几位小数”只与小数部分有几位有关系,而与整数部分没有关系。 105.给数轴上的点标数,给已知数在数轴上找对应点,目的是什么呢?   用数轴上的点表示小数,可以使学生对小数的认识进一步抽象化。小数和整数一样,都是数。每个整数在数轴上都可以找到与它相对应的一个点,每个小数也都可以在数轴上找到与它相对应的一个点。使学生把小数这样的数纳入他们已有的关于数的认知结构之中。通过这样的练习,除可以使学生对小数的认识更加抽象化之外,还可以使学生进一步认识小数同整数1的关系。   例如:用箭头指0.2、0.5、0.95、1.6及2.35各数在数轴上的位置。   对于这道题里的两位小数,如0.95、2.35,学生可能想到:这个百分之九十五,要在100份中取95份,而在数轴的0与1之间只均分10份(如图),若按照图上的份数去找,总也没有100份,从哪里去取这95份呢?当小学生找不着0.95的对应点的时候,我们可以发现,学生还没有弄清楚小数(指纯小数)同整数1的关系。   通过这样的练习,可以使学生认识到:凡是纯小数,十分之几也好,百分之几也好,千分之几也好,万分之几也好,它们在直线上的对应点总是在0与1之间。   虽然在所画出的图上,0与1之间只均分10份,但是,可以引导学生想:每一份还可以再均分为10份,这样,整数1就被分成100份了。还可以再均分,再均分,……“1”就被均分成1000份、10000份了。这样,可以丰富学生的想象力,发展学生的思维能力,对小数加深认识。 106.你知道小数有哪些性质?   小数的性质有以下两条:   (1)小数的末尾添零或去掉零的性质。   小数的末尾添上“0”或去掉“0”,小数的大小不变。   例如:0.45=0.450 0.45=0.4500   9.600=9.6 9.600=9.60   小数的这条性质在除法运算中很有用处。当一个小数被另一个数除而除不尽时,可以在被除数的末尾添零继续除下去。当一个整数被另一个数除而除不尽时,也可以先点小数点,后添零继续除下去。这些添零的作法就是根据这条性质。   (2)小数点左右移动的性质。小数的小数点向右移动一位,小数就扩大10倍;向右移动二位,小数就扩大100倍;向右移动三位,小数就扩大1000倍;……;小数点向左移动一位,小数就缩小10倍;向左移动二位,小数就缩小100倍;向左移动三位,小数就缩小1000倍;……。   例如 8.625的小数点向右移动一位得86.25,它比8.625扩大10倍。   同样的,8.625的小数点向右移动二位得862.5,它比8.625扩大100倍。   又如:8.625的小数点向左移动一位得0.8625,它比8.625缩小10倍。同理,0.08625比8.625缩小100倍。   小数的这条性质在运算中也很有用处。例如,一个小数乘以10、100、1000、……时,只要把小数点向右移动一位、二位、三位、…… 就可以了;一个小数除以10、100、1000、……时,只要把小数点向左移动一位、二位、三位、……就可以了。   整数可以看作是小数部分为“0”的小数。例如,75可以写成75. 0,如果75. 0乘以10,可以把小数点向右移动一位,得750;如果 75.0除以 10,可以把小数点向左移动一位,得 7.5;等等。 107.你会比较小数的大小吗?   比较两个小数的大小时,分两步进行。   首先,比较两个小数的整数部分。整数部分大的小数比较大。   其次,整数部分相等时,看小数部分。十分位上的数字比较大的小数较大。十分位上的数字相同时,比较百分位上的数字,百分位上的数字比较大的小数较大。百分位上的数字相同时比较千分位,……这样比较下去,如果所有小数部分的各位数字都相同,那么这两个小数相等。   例如:54.27>50.98   54.27>54.268   54.27=54.27   总之,小数的大小比较方法和整数的大小比较在原则上是完全一样的,即最高位上的数大的那个数较大;最高位上的数相同,则次高位上的数大的那个数较大,……。若所有数位上的数都相同,则两个数相等。但在整数中,位数多的数一定较大,而在小数中,却不一定。例如,0.256虽是三位小数,它比两位小数0.42小。 108.怎样理解“四舍五入法”?   四舍五入法是截取近似数的一种方法。当把一个数精确到某个数位时,如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数小于5,则把这个数位右边所有数字去掉,而这个数位上的数字不变,这叫四舍;如果这个数位右边相邻数位上的数字所表示的数等于或大于5,则把这个数位的数字加1,这叫五入。   例如:3.14159≈3.14(四舍)   3.14159≈3.142(五入) 109.怎样理解准确数与近似数?   准确数--在计数、度量和计算过程中,有时得到和实际丝毫不差的真实数值,这种数叫准确数。例如35÷5=7;六年级学生共89人等都是准确数。   近似数--在计数、度量和计算过程中,大多数情况下,得到的是与真实数值相近而有一些误差的数(如 22÷7≈3.14),这种数叫作近似数。例如,在度量的时候,由于受到度量工具的精确度和度量技能的限制,或者不需要很精确,这时只能得到一个近似数。比如,一段公路7300米长,7300这个数就是一个近似数。在计算的时候,有时只需要或者只能得到一个与实际大体相符的近似数。例如,23÷3≈7.67,这个商就是近似商。一个近似数,可以用它的不足近似值与过剩近似值表示。       精确到0.1,0.01,0.001,……的不足近似值;如果在上述各数的末一位     精确到0. 1,0.01,0.001,……的过剩近似值。 110.在求近似数时,有时使用“进一法”,有时使用“去尾法”,这是怎么一回事儿? 进一法--在截取数的近似值时,把舍去的部分去掉后,在保留部分的末位上加1,这种截取数的近似值的方法,叫做进一法。例如,把π=3.14159……用进一法截取到百分位时,近似值为3.15。   在日常生活中,针对实际情况需要采取进一法。例如:每条麻袋能装粮食75公斤,现在有1380公斤粮食,需要麻袋多少条?   解:1380÷75=18.4(条),   或 1380÷75=18(余30)。   结果得18.4条,如果按照四舍五入法截取近似值,那么应该得18条麻袋。如果只用18条麻袋的话,余下的30公斤粮食往哪里装呢?根据题意,要用进一法取近似值。即   1380÷75=18.4≈19(条)   答:需要麻袋19条。   去尾法--在截取数的近似值时,把舍去的部分去掉后,所保留的数不变,这种截取数的近似值的方法,叫做去尾法。例如,把π=3.14159……用去尾法截取到千分位时的值为3.141。   在日常生活中,针对实际情况需要采取去尾法。例如:每件儿童衣服要用布1. 2米,现有布17.6米,可以做这样的衣服多少件?   解:17. 6÷1.2=14.66……   或 17.6÷1.2=14(余 0. 8)   结果得14. 66……,如果按照四舍五入法截取近似值,那么应该得15件。但是做衣服的事儿,大家都明白,剩下的布虽然能做0.6件,但是不够做成一件的布,只能采取去尾法。即   17.6÷1.2=14.66……≈14(件)   答:可以做成这样的衣服14件。 111.什么叫做精确度?   一个准确值用它的近似数表示时,允许有一定程度的误差,并且误差要根据条件或需要保证必要的精确度,这叫做精确度。例如:圆周率π=3.14159……,用去尾法精确到0.1,0.01,0.001,……的不足近似值为3.1,3.14,3.141,……;用进一法精确到0.1,0.01,0.001,……的过剩近似值是3.2,3.15,3.142,……。这里的0.1,0.01,0.001,……,就表示近似数的精确度。 112.什么叫做绝对误差与相对误差?   绝对误差--一个量的准确数与近似数的差的绝对值,叫做这个数的绝对误差。   例如:π=3.14159265…,如果取3.141,是π的不足近似值,误差是: 3.14159265…-3.141=0.00059265…;如果取 3.142,是π的过剩近似值,误差是:3.14159265--3.142=-0.00040734…   相对误差--一个近似数的绝对误差与它的准确数的比(常用百分率表示),叫做这个近似数的相对误差。   例如:测量一块长方形土地,测得长度是500米,绝对误差不超过1米;宽是20米,绝对误差不超过0.05米。哪一个精确度较高?   解:长:1÷500=0.2%;   宽:0.05÷20=0.25%。   答:测量土地的长的精确度较高。 113.取近似值时,是否可以采取连续“入”的办法?   用四舍五入法截取某数的近似值时,不能采取连续“入”的办法。例如:用四舍五入法把36.7249保留两位小数。这个数舍去部分的首位数字是“4”,只能“四舍”,得36.72;不能把“4”右边的“9”入上来,假如这样做的话,于是“4”变成“5”,“5”再入,得36.73。而这个题的正确答案是:   36.7249≈36.72(保留两位小数)。 114.取近似值时,在保留的小数数位里,小数的末一位或末几位是“ 0”的,这些“0”是否可以划掉?   取近似值时,在保留的小数数位里,有时会出现末一位或末几位是“0”的情况,这种情况下的“0”,应当保留,不得划掉。例如:5.4037,保留两位小数,近似值应截取5.40,不应截取为5.4。这时5.40里的末一位的“0”不能去掉。因为5.40的取值范围在5. 395~5.404之间,绝对误差不超过0.005。如果把5.40里的末一位的“0”划掉的话,精确度就相差多了,并且也不符合原题对截取近似值的要求。原题要求是保留两位小数。 115.怎样讲解小数的意义?   在讲解小数的意义时,可以做好以下几点工作。   (1)由货币单位及商品标价引入小数。例如,一瓶墨水4角8分,可以写成0.48元;一支钢笔2元7角5分,可以写做2.75元。   (2)由长度单位引入小数。一般情况下,长度单位以“米”为单位。例如,一根钢条长3米2分米6厘米,以“米”为单位用小数表示就是3. 26米。使学生体会到,小数同复名数的关系是非常密切的,小数在实际生活中的应用是相当广泛的。   (3)均分正方形。使学生认识到,纯小数同单位1的关系。如图。   通过这样的图解,可以使学生体会到部分同整体的关系。还可以使学生认识到:一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几,……   总之,引入小数,常常是从十进位的计量单位引入(包括货币单位),再结合十进分数,作为认识小数的基础。 116.小数加、减法的运算法则是怎样规定的?   小数加法的法则和整数加法的法则一样,也是相同的数位对齐,由于小数中有小数点,因此,只要小数点对齐,相同的数位就对齐了。具体步骤是:   (1)把各个加数的小数点上下对齐;   (2)按照整数加法的法则进行计算,从右边最后一位加起,满十进1;   (3)和的小数点要与加数的小数点上下对齐。   例如:24+17.5+8.96=50.46   小数减法的法则和整数减法的法则一样,也是相同的数位对齐,由于小数中有小数点,因此,只要小数点对齐,相同的数位就对齐了。   具体步骤是:   (1)把被减数和减数的小数点上下对齐;   (2)按照整数减法的法则进行计算,从右边最末一位减起,不够减时借1当10;   (3)差的小数点要与被减数、减数的小数点上下对齐。   例如:64.75--9.948=54.802   117.小数乘法的运算法则是怎样规定的?   小数乘法的法则可按照以下步骤进行:   (1)先按照整数乘法的法则求出积;   (2)再看被乘数和乘数一共有几位小数,就从积的右边起数出几位,点上小数点;   (3)如果小数的末尾出现0时,根据小数的基本性质,把小数末尾的0划去。   例1:6.49×7.5=48.675   例2:取积的近似值(得数保留两位小数)   5.46×1.67=9.1182≈9.12 118.小数除法的运算法则是怎样规定的?   (1)除数是整数的小数的除法   除数是整数的小数除法,可按照以下步骤进行计算:   ①先按照整数除法的法则去除;   ②商的小数点要和被除数的小数点对齐;   ③除到被除数的末尾仍有余数时,就在余数后面添0,再继续除。   例1:117÷36=3. 25   (2)除数是小数的小数除法   除数是小数的小数除法,可按照以下步骤进行计算:   ①先把除数的小数点去掉使它变成整数;   ②看除数原来有几位小数,就把被除数小数点向右移动相同的几位(位数不够时补0);   ③按照除数是整数的除法进行计算。   例2:104.4÷7.25=14.4   (3)取商的近似值   在实际生活和生产中,常常遇到小数除法不能除尽或所得的   商的小数位数太多,但实际又不需要,可以根据要求和具体情况取商的近似值。   例 3:122÷16≈7.6(得数保留一位小数) 119.为什么说,分数不能包括所有小数?   把分数化为小数的时候,一种情况是,能化成有限小数;另一种情况是,能化成无限循环小数。一个分数,如果不能化为有限小数的话,它一定能化成循环小数。而无限不循环小数,不能用分数表示,是无理数的一种表现形式。所以说,分数不能包括所有的小数。列表如下:   120.循环小数是怎样定义的?   一个无限小数,如果它的小数部分从某一位起,都是由一个或几个数字,依照一定的顺序不断地重复出现,这样的小数叫做循环小数。   例如:0.333……,1.732732……,3.14646……,都是循环小数。   一个循环小数的小数部分中,依次重复出现的一个或几个数字,叫做循环节。例如,0. 333……的循环节是“3”,1.732732…的循环节是“732”,3.14646…的循环节是“46”。   为了书写方便,一个循环小数只写出不循环的部分和第一个循环节,并在这个循环节的最左和最右的数字上面各记上一个点,这个点叫做循环点。      循环节从小数点后的第一位就开始的循环小数,叫做纯循环小数。     读作:三点一四六,四六循环。 121.你知道循环小数有哪些性质?   循环小数的性质有以下三条:   (1)循环节的位数增加到原循环节位数的2倍、3倍、……,循环小数的值不变。            (2)纯循环小数写成混循环小数的形式,值不变。      (3)有限小数也可以写作以0或9为循环节的循环小数。   例如:3.27可以写作3.270或者写作3.269(一般不采用以9为循环节的形式)。   因为 3.27等于 3加 0.27,为了从简,只写一写小数部分变化的情况。      总之,循环小数虽然可以写成不同形式,但是除特别需要时外,一般都写成最简形式。 九、量和计量 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6100_SR.HTM" \t "_blank?) 254.怎样理解量、连续量和不连续量的概念?   量--客观事物所具有的能区别程度异同的属性叫做量。也就是说,事物的多少、大小、长短、轻重、高低、速度的快慢等客观事物的属性都叫做量。   例如,一个集合元素的多少,一个物体表面面积的大小,一条公路的长短,一个物体的轻重,房间里气温的高低,一辆车行驶的快慢等都是量。   连续量--连续量有如下特点:它从一种程度到另一种程度是“连续地”变化的,即从一种程度开始,要经过无限多种程度的连续更替才能变化到另一种程度。例如,某物体的温度从13.2℃变化到14.2℃,就必须从13.2℃开始,经过13.3℃、13.4℃、13.5℃……最后才变到14.2℃;而从13.2℃变到13.3℃时要经过13.21℃、13.22℃……13.29℃等各种不同的程度;再进一步,我们还会看到,从13.21℃到13.22℃也不是跳跃地变化的,中间还会有无限多种程度的更替。又如长度、重量、体积、速度、时间等都是连续量。连续量的程度可以用小数来表示。   不连续量--不连续量有如下特点:它从一种程度到另一种程度是“跳跃地”变化的,即从一种程度开始,只要经过有限多种程度的逐次更替就能变化到另一种程度。如我们数一个班的学生人数时,从1开始,逐次经过2、3、4、5、……最后变化到45,说明这个班的学生是45人。又如图书馆的图书册数,学校里足球的个数,都是不连续量。不连续量只能用整数来表示其程度,不连续量又叫离散量。 255.怎样理解计量、量数、直接计量和间接计量的概念?   计量--把一个量同一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做计量。用来作为计量的标准的量叫做计量单位。例如,用米作为计量单位去测定教室的长和宽的过程就是计量。   量数--用一个计量单位去计量某一个量,结果得到这个量含有计量单位的若干倍,这个数值就叫做这个量的量数。同一个量,用不同的计量单位去量,所得的量数不同。例如,量一量教室的黑板,如果用“米”作单位去计量,所得的量数是3.2,如果用“厘米”作单位去计量,所得的量数就是320。   直接计量--把计量的量同计量单位直接进行比较并且得出结果的计量方法,叫做直接计量。例如,用米去量教室的长和宽,就是直接计量。   间接计量--当直接计量是不可能的或者是不方便的情况下,只得采用间接测量的方法。例如,用米尺去度量两个行星间的距离是不可能的;又如,用平方米去度量操场的面积是很不方便的。这就需要间接计量。通过计量其他有关的量,再借助于公式进行计算而得到结果的计量方法叫做间接计量。如测量土地面积、行星之间的距离等都是间接计量。 256.重量和质量有什么区别?   重量--由于地心引力的作用,物体具有向下的力,这个力的大小叫做重量。重量在各地区因地心引力的不同而有微小的差别,在地球两极比在赤道大一些,在高处比在低处小一些。   质量--物体中所含物质的量,也就是物体惯性的大小。表示质量的单位用克、千克等,一般用天平来称。质量通常是一个常量,不因高度或纬度而改变。 257.度量衡的含义是什么?   在我国古代,计量长短称为度,计量容积(容量)称为量,计量轻重称为衡,因此,计量长度、容积、重量,统称为度量衡。 258.名数、单名数及复名数的含义是什么?   名数--量数和计量单位的名称合起来叫做名数,或者说数后面带有计量单位名称的叫做名数。例如,6米,3吨80千克。相对于名数,就把通常的数叫做不名数。如9、105、0.7等。   名数是由数和计量单位名称两部分组成的,如6米是一个名数,其中6是数,米是单位名称。如果“6米”的米字漏写了,应该说漏写了单位名称,不应说成漏写了名数。   单名数--只含有一个单位名称的名数叫做单名数,如6米、25千克、8小时等。   复名数--含有两个或两个以上单位名称的名数,叫做复名数。如6米35厘米,2小时40分等。   如果相邻两个计量单位之间是“十进”的,那么含有这样的计量单位名称的复名数通常叫做十进复名数。如3厘米6毫米。如果相邻两个计量单位之间不是“十进”的,那么含有这样的计量单位名称的复名数通常叫做非十进复名数,如2小时38分。 259.什么叫做高级单位和低级单位?   在同类的计量单位中,较大的计量单位是高级单位,较小的计量单位是低级单位。高级单位和低级单位是相对而言的。例如,分米对于米来说,是低级单位,如果就分米和厘米这两个单位而言,那么分米又是高级单位,厘米是低级单位。 260.什么叫做化法和聚法?怎样进行化法、聚法的教学?   化法--把高级单位的单名数或复名数变成低级单位的单名数,叫做化法。   例如:12米6厘米=( )厘米。   12米6厘米=1206厘米。   聚法--把低级单位的单名数变成高级单位的单名数或复名数,叫做聚法。   例如:20875千克=( )吨( )千克。   20875千克=(20)吨(875)千克。   化法是用相应的进率乘以高级单位的量数。例如,5米=?厘米,用进率100乘以5,就得到5米=500厘米,如果是5米70厘米=?厘米,那么在500的基础上再加上70,得5米70厘米=570厘米。   聚法是用低级单位的量数除以相应的进率,所得的商就是高级单位的量数;如果有余数,则余数仍是低级单位的量数。根据需要,余数也可以继续除下去,把得到的小数商作为高级单位的量数。例如,75000千克=?吨,用进率1000去除,得到75000千克=75吨,如果是75300千克,就得到75300千克=75吨300千克;根据需要,也可以把300继续除以1000,得到75300千克=75.3吨。   由于计量单位之间的进率很多是10、100、1000的,因此,化法和聚法一般用口算就可以了。在口算时,要针对学生容易产生的错误进行练习。例如:   (1)学生容易产生漏写0的错误。   (2)学生容易产生多写0的错误。   有时,学生容易把不同的进率相互混淆,以致造成化聚错误。例如,4.25小时误以为是4小时25分。教学时可以对各种进率进行比较归纳。例如,千米与米,吨与千克,千克与克,升与毫升等单位之间的进率都是1000;小时与分,分与秒之间的进率是60。如果两个相邻长度单位之间的进率就是10,那么与它们相应的面积单位之间的进率就是100,那么与它们相应的体积单位之间的进率就是1000。 261.计量物体的重量常用秤,你会使用常见的秤吗?   秤是计量物体重量的器具。常用的秤有杆秤、台秤、弹簧秤、天平秤等。   (1)杆秤:杆秤的秤杆上方和内侧有刻度,叫秤花,大秤花表示斤,小秤花表示两。秤杆右端有秤钩和两根秤纽。右手执秤纽称物,左手移动秤锤(秤砣)的系绳,使秤杆平衡。有的杆秤不带秤钩而带有秤盘。   (2)台秤:台秤有固定的底座。小型的放在台子上使用(大型的放在地上)。称物品时,移动秤杆上的“活动秤锤”使秤杆平衡,称出物品重量。若只用秤钩不用附加秤锤可称500克以内的重量。称500克(半千克)以上重量的物品时,要在秤钩上附加500克的秤锤,称1000克以上重量的物品时,要在秤钩上附加1000克的秤锤,等等。   (3)天平秤:天平秤称物品时,使砝码重量与物品重量相等,根据砝码重量确定物品的重量。 262.买卖黄金等贵重金属常用“盎司”计算,一盎司有多重?   盎司(ounce)是英美制重量单位,是一磅的十六分之一。旧称英两或■,是英国、美国计算金属重量的单位之一。现在国际金融市场上,买卖黄金、白银等贵重金属的价格,一般都按盎司计算。这种盎司,通称“金衡盎司”或“特洛伊盎司”,每一“金衡盎司”等于31.103481克。   我国过去的旧市两(十六两制),每两等于31.25克,这样,每一金衡盎司等于0.995311市两(十六两制)。 263.国际公制计量制度是怎样确定的?   国际公制是一种计量制度,创始于法国,1875年十七个国家的代表在法国巴黎开会议定这种制度为国际通用的计量制度。长度的主单位是米,一米等于通过巴黎的子午线的四千万分之一。标准米尺用铂铱合金制成,断面为Ⅹ形,在0℃时标准米尺上两   端所刻的线之间的距离为一米。质量的主单位是千克(公斤),标准千克的砝码是用铂铱合金制成的圆柱体,这个砝码在纬度45℃的海平面上的重量为一千克。容量的主单位是升,一升等于一千克的纯水在标准大气压下4℃(密度最大)时的体积。简称公制,也叫米制。   米曾被定义为:米(m)等于氪—86在真空中(在2p10和5d5二能级之间跃迁时)所发射的橙色光波波长的1650763.73倍。   路径的长度。   1959年我国国务院发布了《关于统一计量制度的命令》,确定国际公制为我国的基本计量制度,在全国范围内推广使用。原来以国际公制为基础所制定的市制,在我国人民的日常生活中已经习惯通用,可以保留。当时公布的《统一公制计量单位中文名称方案》如下表:   264.国际单位制SI包含了哪些内容?   国际单位制是在米制基础上发展起来的,被称为米制的现代化形式。从米制创立以来,随着科学技术的不断发展,又出现了多种单位制,这些单位制并用,相互间的转换非常麻烦。为了改变这种现象,国际计量大会于1960年通过了一种国际单位制,它的国际符号为SI,目前已被世界各国以及国际性组织广泛采用。   国际单位制以长度单位“米”、质量单位“千克(公斤)”、时间单位“秒”、电流单位“安培”、热力学温度单位“开尔文”、物质的量单位“摩尔”、发光强度单位“坎德拉”等七个单位为基本单位,对每个单位都给以严格的理论定义。   1984年2月27日,我国国务院发布了《关于在我国统一实行法定计量单位的命令》,决定在采用先进的国际单位制的基础上,进一步统一我国的计量单位。命令的第一条指出:我国的计量单位一律采用《中华人民共和国法定计量单位》。第二条指出:我国目前在人民生活中采用的市制计量单位,可以延续使用到1990年,1990年底以前要完成向国家法定计量单位的过渡。农田土地面积计量单位的改革,要在调查研究的基础上制订改革方案,另行公布。   我国的法定计量单位包括:   (1)国际单位制的基本单位:见表1。   (2)国际单位制的辅助单位:见表2。   (3)国际单位制中具有专门名称的导出单位:见表3。   (4)国家选定的非国际单位制单位:见表4。   (5)由以上单位构成的组合形式的单位。   (6)由词头和以上单位所构成的十进倍数和分数单位,词头见表5。 表1 国际单位制的基本单位 表2 国际单位制的辅助单位 表3 国际单位制中具有专门名称的导出单位 表4 国家选定的非国际单位制单位 表5 用于构成十进倍数和分数单位的词头   注:1.周、月、年(年的符号为a)为一般常用时间单位;2.[]内的字,是在不致混淆的情况下,可以省略的字;3.( )内的字为前者的同义语;4.角度单位度分秒的符号不处于数字后时,用括弧;5.升的符号中,小写字母1为备用符号;6.r为“转”的符号;7.人民生活和贸易中,质量习惯称为重量;8.公里为千米的俗称,符号为km;9.104称为万,108称为亿,1012称为万亿。这类数词的使用不受词头名称的影响,但不应与词头混淆。 265.什么叫做倍数单位及分数单位?   倍数单位及分数单位,是泛指某类计量单位的辅助单位。例如,比米大的单位有十米、百米、千米(公里)等,这些单位叫做米的十进倍数单位;比米小的单位有分米、厘米、毫米等,这些单位叫做米的十进分数单位。 266.什么叫做基本单位及导出单位?   在一种单位制中,基本量的主单位称为基本单位,它是构成单位制中其他单位的基础。在选定了基本单位之后,由基本单位以相乘、相除的形式构成的单位称为导出单位。例如,面积单位“平方米”就是基本单位米的二次方构成的,速度单位“米/秒”就是由基本单位米除以基本单位秒构成的。 267.容积单位与容量单位有什么区别?   我们先谈谈“容积”和“容量”:容积,指的是容器或其他能容纳物质的物体的内部体积,叫做容积。而容量呢,指的是容积的大小叫做容量。   测量容器的容积时,用容积单位,而容积单位用的就是体积单位:立方米、立方分米、立方厘米等。容量单位主要有升和毫升。它们之间的进率是1000,即1升=1000毫升。在计量药水、汽油等液体的体积时,常用升和毫升作单位。   总之,计量容积或容量,就用体积单位。它们之间的关系是:1升=1立方分米,1毫升=1立方厘米。 268.什么叫做一拃(zhǎ),一庹有多长?   什么叫做一拃呢?张开手掌,大拇指与中指之间的最大距离,通常叫做一庹。   一庹的距离到底有多长,它是因人而异,因手掌的大小而异的,不可能是一个固定的长度。   为了使学生知道各自一庹的长度,可以由学生自己量一量。把手掌张开,按在桌面上,摆好一个固定的姿势,用同样的力量,从某一点开始往前量。比如量了5拃,先用尺量出总长度,再被5除,求出平均值,就是自己一拃的长度。(如图)   有时,为了量一量桌面的长和宽,身边又没有尺子,在不要求十分精确的情况下,倒是可以用拃量一量,也能够量出大约的长度来。这是随身携带的用起来又非常方便的“尺子”。   在下面括号里填上适当的数。   我自己的一拃长( )厘米。   269.什么叫做一庹,一庹有多长?   什么叫做一庹呢?两臂左右平伸,掌心向前,两手指尖之间的距离,通常叫做一庹。   一庹有多长呢?它也是因人而异,因胳膊的长短而异。也不可能是一个固定的长度。   为了量出自己一庹的长度,可以利用一根竹竿或木棍,或者利用墙面,两臂左右平伸,不要过于用力,按照同样的姿势,做三、四次,每次都作好记号,量出长度,最后,求出平均数。这就是自己一庹的长度。(如图)   有时,要想知道一条绳子有多长,可以用庹量一量,就能知道它大致的长度。要想知道树干的周长,也可以用庹量一量。   这也是随身带的“尺子”。   我的一庹长( )厘米。 270.什么叫做一步,一步有多长?   步,就是我们走路时迈步的步。从后脚尖到前脚尖之间的距离,通常叫做一步。也叫做“自然步”。(如图)   要想测量自己一步的长度,可以从某一点开始,向正前方走10步或20步,先量出总长度,再求出平均数来,就是自己一步的长度。假如,你向前走了10步,总长度为6米30厘米,那么平均一步的长度就是63厘米。测量时,步子要均匀,不要故意迈大步,精神要放松,要跟平时走路时一样自然。   现在我们所说的一步,没有固定的长度,因为人有高矮之别,步有大小之分,只好自己测量自己一步的长度。   平时也可以用步测量某段路的距离。例如:测量一下从你家到学校的路程,恰好是1000步,如果你自己一步的长度是63厘米的话,那么,就可以算出这段路程长630米。   从前,曾经把一步看作是长度的一个单位,一步等于5尺。当时所说的一步,相当于成年人的两个“自然步”(如上图)。现在,测量长度不再使用“步”这个单位了。 271.一秒钟的时间到底有多长?   “儿童节目要开始了!”小鹏一面说着一面打开了电视机。演播时间快到了。荧光屏上已经显示了时刻表,是17(时)39(分)21(秒)。表示秒的数字跳动得很快,由21变成22,由22变成23,又变成24、25、26、……由21秒变成22秒所间隔的时间,就是一秒钟。   为了使学生能够体会到一秒钟的时间有多长,周老师特意把大电钟挂在教室里,电钟的秒针挺大,一下一下地走着。秒针移动一小格的时间,就是一秒钟。   周老师又把节拍器立在讲桌上,节拍器的指针摆动起来了。达!达!达!声音清脆。周老师对同学们说:“现在这个速度正是一分钟60响,每两个响声之间所延续的时间就是一秒钟。”同学们静静地听着节拍器的响声,同时体会着一秒钟到底有多长。   周老师又让大家各自摸着自己的脉搏,默默地数着,在一分钟之内跳动多少次。有的说75次,有的说78次,也有的说70次,还有的说80次。每两次脉搏之间的时间,接近一秒。   有的同学,认为一秒钟的时间很短暂,浪费几秒钟算不了什么。其实,它也是有一定的长度的,在一秒钟的时间里,可以做许多这样那样的事情。例如:一般情况下,人可以跑5米远,喷气式飞机可以飞行500米,人造地球卫星可以飞行7900米,声波可以传出340米,光在一秒钟的时间里能走300000千米。   教学时,不但要使学生认识“秒”,还应该教育学生珍惜一分一秒,抓紧时间学习。 272.1立方厘米、1C.C.和1毫升有什么关系?   用厚纸板做一个正方体空盒,使它内壁的长、宽、深都是1分米,那么,它的容积(容器内部的大小)就是1立方分米。如果按照容量单位来说,这样大的容器。它的容量就是1升。   由于,1分米等于10厘米,那么,1立方分米就等于1000立方厘米。如果容积是1立方厘米的容器,按照容量单位来说,它的容量就是千分之一升,叫做1毫升。这样,1升就等于1000毫升。   又因为“立方厘米”这个词,用拉丁文来写是:cubic centime-ter。为了书写简便,取其两个字头,写作C.C.,所以,1立方厘米即1C.C.。   如果按照体积(或容积)单位来说,就说成若干立方厘米或若干C.C.,同样的容积,如果按照容量单位来说,它的容量就是若干毫升。例如:有的瓶装墨水的包装上印着“60毫升”的字样,以表示所容墨水的量;也有的印着“60C.C.”或者“60立方厘米”的,这是从体积的角度说明所容墨水的体积。 273.什么叫“克拉”?   克拉为钻石、猫眼、红宝石、蓝宝石等珍贵珠宝之计量单位。据考,克拉(carat)一词来自于希腊文,是一种角豆树的种子,古代人们认为这种树的种子重量个个相同,因此,古代的珠宝商人用它来作为称量珠宝的砝码。过去,克拉的实际重量比较混乱。1907年巴黎会议规定,每0.2克为一克拉,每克拉为100分,代替以前的64分。从此,100分等于一克拉,5克拉等于一克,这就是目前世界上通用的“公制克拉”。   1克=5克拉,1克拉=0.2克。 274.时间单位有哪些?它们之间的进率各是多少?   小时、分、秒是计量时间的单位。它们之间的进率是:1小时=60分,1分=60秒。   世纪、年、月、日也是计量时间的单位。它们之间的进率如下表:   一世纪是100年,如从1700年到1799年属于十八世纪,从1900年到1999年属于二十世纪。一世纪可分为若干小段,每段10年,这就是通常所说的二十年代、三十年代、……九十年代(通常不说十年代)。1980年到1989年这十年属于二十世纪八十年代,而十九世纪六十年代是指1860年到1869年这十年。 275.什么叫做二十四时计时法?   半夜是一日的开始,叫做某日零时。 1天的24小时又分为两段,每段12小时。从半夜0时起到中午12时叫做上午,再从中午12时起到半夜12时叫做下午。这种计时法叫做分段计时法(也叫12小时计时法)。生活中通常采用这种计时法。另一种计时法是广播电台、车站、邮电局等部门采用的0到24时计时法,简称24时计时法。按照这种计时法,下午1点就是13点,下午2点是14点,……夜里12点就是24点,又是第二天的0点。 276.什么叫做季度?什么叫做旬?   一年有四个季度。一月、二月、三月是第一季度;四月、五月、六月是第二季度;七月、八月、九月是第三季度;十月、十一月、十二月是第四季度。   旬,每10天为1旬。一个月分上、中、下三旬。每月的1日到10为上旬;11日到20日是中旬;21日到月底是下旬。 277.时刻和时间在概念上有什么区别?   时刻一般用时、分、秒表示,如上午8时,现在是7时25分等,表示出一天内某一确定的时刻。日历上所载的某月某日叫做日期。时间一般指的是两个不同的时刻或日期之间的间隔,通常用“小时”表示时间,而用“时(或点)”表示时刻。例如,上午工作4小时,是指时间;小悦每天6点45分起床,7点30分到校,是指时刻。“时”可以说成“点”。 278.什么叫本初子午线?什么叫日界线?   本初子午线是通过伦敦格林威治天文台原址的经线,把它定为0°经线,也叫本初子午线。从0°经线算起,向东向西各分180°,以东的180°属于东经,以西的180°属于西经。   下面谈谈日界线。由于地球每天由西向东自转一周,东面总是比西面的地方早进入新的一天。而地球是个球体,哪里算是最东面呢?新的一天究竟从哪里开始呢?为了解决这个问题,国际上规定180°经线(局部地方有调整)为国际日期变更线,简称“日界线”。如果自西向东越过这条线,即从东半球进入西半球,应把日期减去一日;如果自东向西越过这条线,即从西半球进入东半球,应把日期加上一日。 六、分数应用题 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6051_SR.HTM" \t "_blank?) 208.在分数应用题中,如何进行聚简为繁的训练?   在分数应用题的教与学中,特别是对较复杂的分数应用题,通常采用化繁为简的方法,即:把较复杂的题目逐步分解成若干个有联系的简单应用题。这种分散难点、各个击破的方法,实际上是化繁为简的训练。与此同时,还要进行把简单应用题逐步组合成较复杂应用题的训练,使学生既看到较复杂应用题的分解过程,也看到它的组合过程,后者就是聚简为繁的训练。      完成了多少米?   这是一道求一个数几分之几是多少的一步应用题,属于早已掌握的旧知识,可以顺利地列式解答。   结果求出后,立即提出下题:4天修完6000米,平均每天修了多少米?这是一道除法中求一份数是多少的简单应用题,也比较容易列式解答。   6000÷4=1500(米)   接着提出第三个问题:按每天修1500米的速度,完成计划的36000米,实际要多少天?这是除法中包含除的简单应用题,列式解答也将是顺利的。   36000÷1500=24(天)   在此基础上,提出第四个问题:计划30天完成的任务,实际用了24天,提前几天完成任务?这是减法中求两数差的简单应用题,列式解答为:   30-24=6(天)   在分散的基础上,把四个熟悉并早已掌握的简单应用题组合起来,就组成了一道四步的较复杂的应用题。即:      照这种速度,可以提前几天完成任务?   这种聚简为繁的训练,可以帮助学生看到较复杂应用题是如何组成的,也就是较夏杂应用题是怎样一步一步地复杂起来的。这是两步应用题教学中,并题训练的扩大。在此基础上,对进行化繁为简的解答,不但起了促进作用,也起了对较复杂应用题在理解上的相辅相成的作用。从而达到培养学生全面地提高逻辑思维能力的目的。 209.在分数应用题教学中,如何进行一题多变?   一题多变是应用题教学中常用的一种教学手段,它是在掌握例题典型性的基础上,充分发挥例题的可变性,通过条件的变化和问题的改换,使知识向纵向和横向延伸。这对于防止学生思维的呆板,摆脱思维定势的羁绊,都是极其有益的。   一题多变的方法,一般在练习课、复习课和思维训练课上使用。它不仅可以沟通知识的内在联系;还可以使基本题向深度和广度发展,从而看到较复杂题的来龙去脉。既有利于学生思维灵活性的培养,又在有限的教学时间内加大练习和训练的密度。   例如:教师先在黑板上板书两个条件:男生25人,女生20人。然后启发学生:依据这两个条件,在学过分数乘、除法应用题上,可以提出什么问题?开始时,一般提出下面四个问题:   (1)男生人数是女生人数的多少倍?   (2)女生人数是男生人数的几分之几?   (3)男生人数比女生人数多几分之几?       (4)女生人数比男生人数少几分之几?       随着四个答案,教师继续板书,将男生25人用红笔框起来,表示为问题;把女生20人与原来提出的四个问题的答案,作为条件,分别用直线连接。这样就形成了四个新问题:            在完成上述四题的口算后,再将女生20人这个条件用红笔框起来,用男生25人与上述四题的结果作为条件。这样又形成了四个新问题:          这时,板书已经形成了以下的网状结构:   通过一题多变,将两个基本条件,先后组成了十二道基本应用题,同时揭示了分数乘、除法应用题转化关系。如果把男、女生人数和作为标准量,还可以变化出更多的题目。以上所举的例子,只是横向上的一题多变。如果在一道基本题的基础上,附加条件或引申问题,那就是纵向上的一题多变。   运用一题多变,有两个问题应该注意:   其一,一题多变不是目的,而是促进学生思维灵活的手段。不能为多变而多变,更不是变得越多越好,要从班级实际情况出发,做到“适可而止”。   其二,进行一题多变的基础,是学生清晰而明确地掌握基本数量关系和“量”与“率”的对应关系,不能匆忙起步。否则,仓促的多变,反而会引起部分学生思维上的混乱。 210.在分数应用题教学中,如何进行一题多解?   一题多解是应用题教学的一种重要方法。即:在不改变条件和问题的情况下,让学生多角度、多侧面地进行分析和思考,以探求不同的解题思路。在探求的过程中,由于学生的思维发散点不同,因而能找出多种解题途径,收到培养求异思维的效果。   进行一题多解的训练,通常采用两种方法:一种是先找出常规解法,然后进行发散性的思考,以探求不同的思路;另一种是摆出条件和问题后,不找常规解法而直接进行发散。前者属于“同中求异”,后者属于“异中求同”。因为这两者的目标是一致的:在发展思维的前提下,“殊途同归”。   例如:修路队九月份(按30天计算)计划修路2400米,由于开展向国   解法一:按分数应用题的常规思路,确定计划2400米为标准量,求出它   两数差。   解法二:按方程的思路分析,把提前的天数设为x,其含有未知数的等式为:   解法三:按工程问题的思路分析,把计划的2400米看作“1”,   “1”里面包含着多少个这样的几分之几,就求出了实际的天数,最后用减法求出提前的天数。   解法四:按比例应用题的思路来分析,设提前的天数为x,前6天所对   的比值,速度是不变量。   设:可提前x天完成。   解法五:仍按比例应用题的思路分析,根据速度一定,时间和数量成正   个数的几分之几是多少,求这个数的方法,就可求出实际完成的天数,最后用减法求出提前完成的天数。   其他的解法从略。   在一题多解的训练中,选择恰当的题目是非常重要的。题目要从学生已掌握的知识实际出发,题目中条件与条件、条件与问题之间的关系,都应有一定的广度,要能够为求异思维的展开,提供不同的发散点。思路狭窄的题目,是不能为一题多解选用的。   一题多解与一题多变一样,多解也不是目的,目的在于通过思维的发散,开拓解题的思路,发展学生的智力。 211.什么是逆向的思维方法?   逆向思维方法是与顺向思维方法相对而言的。在分析、解答应用题时,顺向思维是按照条件出现的先后顺序进行思考的;而逆向思维是不依照题目内条件出现的先后顺序,而是从反方向(或从结果)出发,进行逆转推理的一种思维方法。   逆向思维与顺向思维是思维训练的主要的基本形式,也是思维形式上的一对矛盾。正确地进行逆向思维,对开拓分数应用题的解题思路,促进思维的灵活性,都会起到积极的作用。以下面两题为例:     解:从题意上分析,这是一道典型的“还原法”问题,如果按一般顺向思维的方法进行思考,将难以找到解题的突破口。正确的解题思路就是用逆向思维的方法,从最后的得数出发,一步步地向前逆推。在逆向推理的过程中,对原来题目里的四则运算进行逆向运算。即:加变减、减变加、乘变除、除变乘。       的这个数。列式计算为:                          解:此题如按顺向思维来思考,就是“归一”的思路,先要求出1吨面   如果从逆向思维的角度分析,可以形成另外两种不同解法:即:①不着眼于先求1吨面粉需多少吨,而着眼于1吨小麦可磨多少吨面粉,然后再求   “倍比”的思路,求出面粉的吨数。列式计算为:       通过以上两例可以看出,掌握逆向思维的方法,遇到问题可以变换角度,进行正、反两方面的思考,在开拓解题思路的同时,也促进了逻辑思维能力的发展。 212.什么是对应的思维方法?   对应思维是一种重要的数学思维,也是现代数学思想的主要内容之一。在小学数学的教材中,对应思维所表现的是一般对应和量率对应,一般对应是从一一对应开始的。   例如:甲有6个三角,乙有4个三角,甲比乙多几个三角?   这里的虚线表示的就是一一对应,即:甲和乙都有同样多的4个三角,而没有虚线的2个,正是甲比乙多的三角。   一般对应随着知识的扩展,也表现在以下问题上:        煤80吨,平均每小时采煤多少吨?   这是一道求平均数的应用题。要求出每小时采煤多少吨,必须先求上、下午共采煤多少吨和上、下午共工作多少小时。这里的共采煤吨数与共工作的小时数是相对应的,否则求出的结果就不是题目中所求的解。   在简单应用题中,培养与建立对应的思维方法,这是解决较复杂的应用题的基础。因为较复杂的应用题中,间接条件较多,在推导的过程中,利用对应思维所求出的数,虽然不一定是最后结果,但往往是解题的关键所在。在分数乘、除法里,这种对应思维突出表现在数量与分率(或倍数)的对应关系上;正确的解题思路的形成,就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。          从题意分析看出,这是一道“已知一个数的几分之几是多少,求这个数”的分数除法应用题。条件中只有20本这唯一具体的量,解题的关键是要找出这个“量”所对应的“率”。   如图:       确定“量”所对应的“率”,是解答此类题的唯一思考途径。按照对应的思路,列式计算为:   答:书架上原有书240本。   从上题的思考过程来看,没有量率对应的思维方法,就不可能找出正确的解题思路。由此可见,在解答分数乘、除法应用题时,对应的思维方法,无疑是一把宝贵的钥匙。 213.什么是假设的思维方法?   假设的思维方法是一种推测性很强的思维方法。这种思维在解答应用题的实践中,具有很大的实用性。这是因为有些应用题用顺向思维和逆向思维都不能找到解题途径时,可以将题目中的两个或两个以上的未知条件,假设成相等的数量,也可以把一个未知条件假设成已知条件,从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系,趋于明朗化和简单化,这是假设思维方法的突出特点。   当“假设”的任务确定后,就按照假设后的条件,依据数量的相依关系,做出相应的调整后,列式计算并求出正确的结果。     题目中有件数和与用布的米数和,由于上、下衣用布量并不一样,做的件数也不一样,按照常规思路,将是无从下手的。但是运用假设的思维方法,此题并不难解决,并且有两个思路:            200-80=120(件)上衣      500米,比实际总米数少(520-500=)20米,这个差是由于每件上衣用布数   才差20米呢?这也是答案之一。列式计算为:   200-120=80(件)下衣   通过计算表明:这两个思路都运用了假设的思维方法。在整数应用题里的鸡兔同笼问题,实际上也运用的是这种思维方法。   假设的思维方法在较复杂的分数乘、除法应用题中,应用也较广泛。如下题:    各重多少吨?       这样两个标准分率就一样了。用共重的吨数乘以假设后的统一分率,所得的    样就可求出其中一堆的重量,另一堆重量用减法即可求出。   30-12=18(吨)第二堆      30-18=12(吨)第一堆   以上的两个思路都是从率入手的。如果从量入手,又会形成两个思路。无论从量从率入手,都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。 214.什么是转化的思维方法?   在分数乘、除法应用题中,常出现两个或两个以上的不同标准量,从属于这些标准量的分率,就很难进行分析和比较。运用转化的思维方法,就可以将不同的标准量统一成一个共同的标准量。在此基础上,其不同标准量的分率,也转化为共同标准量下的分率。经过转化后的数量关系,也就变得简单而明朗,既便于果断地确定思路,也利于准确而迅速地安排解题的步骤。   建立转化的思维方法,必须具备扎实的基础知识,对基本的数量关系,特别是对量率对应等关系,都能够熟练地掌握和运用,这是建立转化的思维方法的前提条件。   运用转化的思维方法的题目,类型较多,以常见的率转化为例:   少岁?   从题目的条件与问题分析,这是一道和倍应用题,但标准量却有两个(父    这样就转化成分数和倍的基本题。列式计算为:     解这道题,也可以通过转化,使父子年龄不同标准量统一为子年龄的标   转化为先求子年龄的和倍应用题。   如果依据题意画出线段图,还可以转化为另一种思路。       一转化,就可以确定父子年龄的倍数关系。       如果在观察图形的相等部分时,转换一下思维的角度,此题也可以转化     10∶3。有了这个“比”的关系,又有父子年龄的“和”,可以用按比例分配的应用题进行解答。   10+3=13……总份数         上述四种解法,不仅思路不同,在算理上也有难有易,但有一个共同点:没有转化的思维方法的参与,每个思路都是难以形成的。 215.什么是消元的思维方法?   在一些数量关系较复杂的应用题里,有时会出现两种或两种以上物品组合关系所构成的应用题,而在已知条件中,又只给了这几种物品相互混合后的数量的总价,如果按其他思维方法,很难分析出正确的解题思路来。这就需要运用消元的思维方法,即:依据实际的需要,通过直接加、减或经过乘、除后,再间接加、减的方法,消去一个或一个以上未知数,求出第一个结果,然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。   消元的思维方法与代数中的消元法是一脉相承的,只不过小学中的消元,不设x,因此,也叫做消去未知数的方法。      求一升油和一升奶各重多少千克?   按照消元的思维方法,题目中的条件可排列如下:   7升油+22升奶→29.31千克   从条件排列中可见:两次的油与油、奶与奶的千克数,都存在着倍数关系,如果先消去油的千克数,把第一个条件扩大2倍,减去第二个条件,油固然可以消去,但奶的升数出现了不够减的情况。因此,只能采用第二个缩小2倍的方法,再减去第一个条件,从而把油消去。   条件重新排列及消元的过程如下:      千克。列式计算为:       油:(29.31-1.03×22)÷7=0.95(千克)   答:一升奶重1.03千克;一升油重0.95千克。   除上述思路外,按照消元的思维方法,根据它们之间的倍数关系,也可以形成另一种思路。即:把第一个条件都扩大4倍,使      这样就可消去奶,而先求出油来。   条件排列与思路如下:   列算式为:         运用消元的思维方法,可以发现解答上述这类题目的规律。由于在解题步骤和分析消元的角度上,并不是唯一的,因此,消元的思维方法也必然会促进整个思维的发散性。 216.什么是发散的思维方法?   发散思维的方法是依据题目中条件与条件、条件与问题的相依关系,从不同的角度上去分析,从不同的途径去思考,在推理中寻找解题的线索,在比较中选择最佳思路,从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。   求同思维是求异思维的前提,没有求同就没有真正的求异, 或者说:就没有真正的发散。但求异思维不是求同思维的自然发展,重要的是有计划、有目的、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同”,使求同思维与求异思维协同配合,做到在发散中的同步发展。   以下面的两题为例:     确的,但思路并不一定是一个,而是从不同角度进行发散思维的结果。        7个100千克是700千克,再加1000千克,得数是1700千克。      千克。      数点向右移动三位,得数是1700千克。   ……   上述的三种思路,其所得的结果是一致的,但分析和思考时,与旧知识   两部分,采用分别相乘然后相加的方法,在运算中又使用了乘法分配律。思路②是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法法则进行计算的。思路③是先将分数化成小数,然后在乘法中,根据小数点移位所引起小数大小变化的规律,从而简便、准确、迅速地求出结果。   (2)当分数、百分数应用题学完后,在练习课上,可通过变直接条件为间接条件的表述,来进行发散思维方法的培养。例如:   甲储蓄80元,乙储蓄50元,如果把乙储蓄的50元这个直接条件改为间接条件的表述,采用分数或百分数的形式,可能有几种表述方式:              ……   如果把甲储蓄的80元转化为间接条件,还用分数或百分数的形式进行表述,可有以下几种表述方式:               ……   类似的表述方法还有许多,解答步骤也会由简到繁。由此可见,发散的思维方法的形式,对于应用题中的数量关系或量率关系,能够进行多角度、多侧面的发散性思考。这种自觉思考习惯的养成,将是一种宝贵的思维品质。 217.什么是联想的思维方法?   联想的思维方法是沟通新旧知识的内在联系,在处理新问题的数量关系或量率关系时,能够对已掌握的旧知识与新问题之间,产生丰富的联想,并运用知识的正迁移规律,变换审题的角度,使问题得到更顺利、更简捷的解答。   当学完分数应用题和比例应用题之后,可通过一道应用题部分条件的出现,激起学生的联想,从而显示联想的思维方法在开阔思路上的作用。   例如:行驶一段路程,甲车与乙车速度的比是5∶4。   出现这些部分条件后,稍做停顿,学生可能产生的联想,有以下几种情况:   ①甲车与乙车的速度比是5∶4,甲车与乙车的时间比则是4∶5。这是依据路程一定,速度与时间成反比关系而联想出来的。如果原题的后面条件是给了甲(或乙)行完这段路程的时间,按原来的速度比去思考,此题将是反比例应用题。通过联想将速度比转化为时间比,此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。   ②甲车与乙车的速度比是5∶4,甲车速度就是乙车速度的(5÷4=)   求甲车的速度是多少,就可以用求一个数的几又几分之几倍的方法,将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度,就可以用已知一个数的几分之几倍是多少,求这个数的方法,将原题转化为分数除法的应用题。      分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度,求乙车速度,则转化为求一个数的几分之几是多少的分数乘法应用题。反之,则转化为已知一个数的几分之几是多少,求这个数的分数除法应用题。      与除法关系的基础上,联想到求一个数比另一个数多几分之几,把乙车看成   差率直接对应,那么用分数除法就可以直接求出乙车的速度。      一个数比另一个数少几分之几联想的结果。甲车速度作为标准量“1”,如   法直接求出甲车的速度。   ⑥根据甲、乙车速度比是5∶4,则甲乙两车的速度和为(5+4=)9,    配应用题进行的联想。如果原题后面给了两车速度和的条件,就可以用分数乘法分别求出甲车速度和乙车速度。   ⑦根据甲、乙车速度比是5∶4,所需时间比是4∶5,由此联想出甲   车分别从两地同时出发,相向而行,求中途的相遇时间,那么,把全程作为“1”,这道题又转化成分数的工程问题。   ……   从上例可以看出,联想面越广,解题思路就越开阔,解题步骤也就越加准确而敏捷。由此可见,联想思维方法所带来的效益,不仅可以促进学生思维能力的发展,也往往从中闪耀出创造性思维的火花。 218.什么是量不变的思维方法?   在一些较复杂的分数应用题中,每个量的变化都会引起相关联的量的变化,就如同任何一个分量的变化都会引起总量的变化一样,这种数量之间的相依关系,常常出现以下的情况:在变化的诸量当中,总有一个量是始终固定不变的。   有了量不变的思维方法,在纷繁的数量关系中,就能在确定不变量的基础上,理顺它们之间的关系,理清解题的思路,从而准确,迅速地确定解题步骤和方法。在小学的分数应用题中,涉及到量不变的思维方法,一般有以下三种情况:   (1)分量发生变化,总量没有变。         从分析题意中可知,甲乙两人的存款数(分量)先后都发生了变化,但二人存款的总钱数(总量)却始终未变,可以断定这是一道总量不变的应用题。抓住了总量不变的特点,就抓住了解题的关键。把乙的存款数看作“1”,           存款数占总存款数的几分之几,然后再求乙存款数占总存款数的几分之几。   经过上面的分析,标准量已转化到二人总存款数,乙占总存款数的分率   此题中,尽管标准量前后不同,中间并经过几度转化,过程也较复杂,但一旦抓住总量不变这个特点,就保证了思维过程的条理和清晰。   (2)总量发生变化,其中一个分量没变。      根据题意,又买进了一批科技书,说明总量发生了变化,科技书这个分量也发生了变化,但另一个分量(文艺书)却始终没变。抓住这个不变量的特点,可求出文艺书的本数:   文艺书的本数没变,但由于后来又买进了科技书,文艺书所占总本数的     数前后没变,两次总本数之差720-630=90(本),则是科技书后来又买进的本数。   (3)总量和分量都发生了变化,但分量之间的差量没变。      张华是36岁时,李丽是多少岁?   这是一道差量不变的应用题,因为张华年龄增加的同时,李丽的年龄也在同步增加,两人之间的年龄差却始终未变。与此同时,两人年龄和相应发生变化,张华年龄所占二人年龄和的分率也必然发生变化。抓住了年龄差这个不变量,就找到了解题的突破口。     时,李丽则是36-8=28(岁)。 七、简易方程 (?http:?/??/?218.22.166.105:8080?/?RESOURCE?/?XX?/?XXSX?/?SXBL?/?BL000024?/?6063_SR.HTM" \t "_blank?) 219.什么叫做代数式和代数式的值?   用运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数字和表示数的字母连接起来所得的式子,叫做代数式。特殊的,单独的一个数字或字母也可以叫做代   用数代替代数式里的变数字母.计算所得的结果,叫做这个代数式的值。      的值是289。 220.什么叫做等式?等式有哪些性质?   表示两个数或两个代数式相等关系的式子叫做等式。两个数或两个代数式之间用等号“=”连接起来。例如:27+23=50,a+b=b+a,4x+6=86。   等式的性质有以下几条:   (1)等式两边可以调换位置。也就是说,如果a=b,那么b=a。   (2)等式两边都加上(或减去)同一个数,所得的等式仍然成立。即如果a=b,那么a±m=b±m。   (3)等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能为零),所   得的等式仍然成立。即如果a=b,那么am=bm,a÷n=b÷n(n≠0)。 221.什么叫做方程和方程的解?   含有未知数的等式,叫做方程。例如:3x+4=10,7x=2.8,ax2+bx+c=0(其中a、b、c为已知数,x是未知数)等都是方程。方程是提出一个问题:当未知数取什么数时,等式成立。 使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。例如:x=2是方程3x+4=10的解。x=1.7是方程4x=6.8的解。 222.什么叫做单项式和多项式?   不含加、减运算的整式,叫做单项式。特殊的,单

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    数学来源于生活,服务于生活!应用题教学体现了数学的这一重要思想,同时也引发了我进一步的思考!

  • ID:3-4180550 直线、射线、线段复习课件

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    直线、射线、线段复习课件:55张PPT1 直线、射线、线段 专题复习 2018/1/9 2 点、线、面、体 点—— 线——— 体——— 面——— 几何图形 平面图形 立体图形 3 常见的平面图形 长方形 正方形 三角形 五边形 圆形 六边形 4 常见的立体图形 ================================================ 压缩包内容: 直线、射线、线段复习课件.ppt

    • 期末复习课件
    • 2018-01-09
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  • ID:3-3984094 2017秋一年级数学上册第五单元推算课件2沪教版五四制

    小学数学/其他版本/一年级上册

    2017秋一年级数学上册第五单元推算课件2沪教版五四制 :17张PPT 密 室 逃 脱 ( ) 3 ( ) ( ) 15 ( ) 11 ( ) 13 16 17 ( ) 2 4 14 16 12 18 ( ) 6 ( ) ( ) 11 ( ) 5 7 10 12 18 ( ) 20 7 8 ( ) ================================================ 压缩包内容: 2017秋一年级数学上册第五单元推算课件2沪教版五四制 .ppt

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  • ID:3-3984086 2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件2沪教版五四制

    小学数学/其他版本/一年级上册


    2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件2沪教版五四制 :18张PPT加倍与一半
    4只太少…

    加倍
    加倍
    加倍
    1
    2
    加倍
    2
    4
    加倍
    3
    6
    加倍
    4
    8
    加倍
    5
    10
    加倍
    6
    12
    加倍
    7
    14
    加倍
    8
    16
    加倍
    9
    18
    加倍
    10
    20
    太多了!
    一半
    一半
    一半
    2
    1
    一半
    4
    ================================================
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    2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件2沪教版五四制 .ppt

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  • ID:3-3984084 2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件1沪教版五四制

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    2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件1沪教版五四制 :8张PPT加倍与一半




    4只太少,
    不够!
    加上同样多的一份就是加倍。
    2+2
    3+3
    4+4
    5+5
    6+6
    7+7
    8+8
    9+9
    10+10
    4
    6
    8
    10
    12
    14
    16
    18
    20
    2的加倍是4
    3的加倍是6
    4的加倍是8
    5的加倍是10
    ================================================
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    2017秋一年级数学上册第五单元加倍与一半课件1沪教版五四制 .ppt

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  • ID:3-3984082 2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件5沪教版五四制

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    2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件5沪教版五四制 :13张PPT
    分类:把有共同特点的事物集中起来,是找规律的一种方法。
    分类
    分一分,可以怎么分?
    颜 色
    形 状
    大 小
    你可以怎么来分类?
    按颜色分,可以分成4类。
    红色
    黄色
    蓝色
    绿色
    按形状分,可以分成3类。
    圆形
    ================================================
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  • ID:3-3984080 2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件4沪教版五四制

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    2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件4沪教版五四制 :23张PPT交通标志
    按形状分
    分类
    分彩色图形片
    沪教版小学数学一年级第一学期第五单元
    执教者:吴蓉烨
    1、分一分
    用喜欢的方法


    2、数一数:
    每一类有几个?
    一共有几个?
    ================================================
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  • ID:3-3984078 2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件3沪教版五四制

    小学数学/其他版本/一年级上册


    2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件3沪教版五四制 :10张PPT分彩色图形片
    九年义务教育课本小学数学一年级第一学期(试用本)第一册P53

    红色
    黄色
    蓝色
    绿色
    颜色
    形状
    大小
    三角形
    正方形
    圆形
    小的
    大的
    谁是幸运星

    捉迷藏
    捉迷藏


    ================================================
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  • ID:3-3984072 2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件2沪教版五四制

    小学数学/其他版本/一年级上册


    2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件2沪教版五四制 :20张PPT分 彩 色 图 形 片
    分一分,数一数。
    分一分,数一数。
    按“颜色”分
    红色
    绿色
    黄色
    蓝色
    按“形状”分
    三角形
    正方形
    圆形
    按“大小”分


    想 一想,分一分。
    红色
    正方形
    圆形
    三角形
    ================================================
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    2017秋一年级数学上册第五单元分彩色图形片课件2沪教版五四制 .ppt

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